Question

已知曲線C：f（x）=x³-ax+a，若過(guò)曲線C外一點(diǎn)A（1，0）引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補(bǔ)，則a的值為（　�。�

• A、

  27

  8

• B、-2
• C、2
• D、-

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  8

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式得到切線方程，再由點(diǎn)A在且線上得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求得兩切點(diǎn)，再由兩切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù)求得a的值．

解答： 解：由f（x）=x³-ax+a，得f′（x）=3x²-a，
設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03-ax0+a)，
∴f′(x0)=3x02-a，
∴過(guò)切點(diǎn)的切線方程為y-x03+ax0-a=(3x02-a)(x-x0)，
∵切線過(guò)點(diǎn)A（1，0），
∴-x03+ax0-a=(3x02-a)(1-x0)，
解得：x₀=0或x0=

3

2

．
∴f′（0）=-a，f′(

3

2

)=

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4

-a，
由兩切線傾斜角互補(bǔ)，得
-a=a-

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4

，
∴a=

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8

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵是注意給出的點(diǎn)是否為切點(diǎn)，是中檔題．