Question

已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c若A，B，C成等差數(shù)列，b=2，記角A=x，a+c=f（x）．
（1）當(dāng)f（x）取最大值時(shí)，求△ABC的面積；
（2）若f(x-

π

6

)=

12

5

，求sin2x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）根據(jù)等差中項(xiàng)和內(nèi)角和定理求出A和A+C，根據(jù)正弦定理求出a+c表達(dá)式，再利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)，
求出f（x）并根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出f（x）取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的角A，判斷出三角形的形狀，并求出此時(shí)三角形的面積值；
（2）將f(x-

π

6

)=

12

5

代入f（x）化簡(jiǎn)，求出sinx的值，根據(jù)平方關(guān)系求出cosx的值，并根據(jù)角的范圍進(jìn)行取舍，利用二倍角的正弦公式求出sin2x的值．

解答： 解：（1）由A，B，C成等差數(shù)列得，2B=A+C，
因?yàn)锳+B+C=π，所以B=

π

3

，A+C=

2π

3

，
又b=2，由正弦定理得，

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

2

sin π 3

=

4 3

3

，
所以a+c=

4 3

3

（sinA+sinC）=

4 3

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]
=

4 3

3

(sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA)
=2

3

sinA+2cosA=4sin(A+

π

6

)，
即f(x)=4sin(x+

π

6

)．
當(dāng)A=

π

3

時(shí)，f（x）取最大值，此時(shí)三角形是正三角形，
所以S=

1

2

acsinB=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

；
（2）由（1）得，f(x)=4sin(x+

π

6

)，
所以f(x-

π

6

)=4sin(x-

π

6

+

π

6

)=

12

5

，得sinx=

3

5

，
則cosx=±

1-sin2x

=±

4

5

，
若cosx=-

4

5

，此時(shí)由-

4

5

＜-

2

2

知x＞

3π

4

，這與A+C=

2π

3

矛盾，
所以x為銳角，故cosx=

4

5

，
則sin2x=2sinxcosx=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理，等差中項(xiàng)和內(nèi)角和定理，三角恒等變換公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．