Question

已知函數(shù)f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos²

x

3

．
（Ⅰ）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求出該函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足b²=ac，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后，利用f（x）=0，求解其對(duì)稱中心；
（Ⅱ）結(jié)合余弦定理和基本不等式，然后，根據(jù)B的范圍求解f（B）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

(1+cos

2x

3

)=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin(

2x

3

+

π

3

)+

3

2

由sin(

2x

3

+

π

3

)=0，
即

2x

3

+

π

3

=kπ(k∈z)得x=

3k-1

2

π

&k∈z

即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為

3k-1

2

π，

&k∈z

…（6分）
（Ⅱ）由已知b²=ac，

cosx= a2+c2-b2 2ac = a2+c2-ac 2ac ≥ 2ac-ac 2ac = 1 2 ，

，
∴sin

π

3

＜sin(

2x

3

+

π

3

)≤1，
∴

3

＜sin(

2x

3

+

π

3

)≤1+

3

2

，
即f（x）的值域?yàn)?span id="p338bq0" class="MathJye">(

3

，1+

3

2

]．
綜上所述，x∈(0，

π

3

]，f（x）值域?yàn)?span id="wdjhs06" class="MathJye">(

3

，1+

3

2

]．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角恒等變換公式及其靈活運(yùn)用、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．