Question

求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

1

2

，2）且與雙曲線4x²-y²=1僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,作圖題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意作圖，討論斜率是否存在，再聯(lián)立方程求解即可．

解答： 解：由題意作圖如右圖，
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，
即x=

1

2

時(shí)，與雙曲線4x²-y²=1僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
故成立；
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，
設(shè)斜率為k，則直線方程為y-2=k（x-

1

2

），
即y=k（x-

1

2

）+2，
與4x²-y²=1聯(lián)立消y化簡(jiǎn)可得，
（4-k²）x²+（k²-4k）x-

k2

4

+2k-5=0，
①當(dāng)4-k²=0時(shí)，k²-4k≠0，
解得，k=2或k=-2，
此時(shí)，直線方程為y-2=2（x-

1

2

）或y-2=-2（x-

1

2

），
即2x-y+1=0或2x+y-1=0；
②當(dāng)4-k²≠0時(shí)，
△=（k²-4k）²-4（4-k²）（-

k2

4

+2k-5）=0，
即32k-80=0，
解得，k=2.5，
故y-2=2.5（x-

1

2

），
即10x-4y+3=0．
故直線方程有：x=

1

2

，2x-y+1=0，2x+y-1=0或10x-4y+3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于難題．