Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=ax+sinx+cosx．若函數(shù)f（x）的圖象上存在不同的兩點A、B，使得曲線y=f（x）在點A、B處的切線互相垂直，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． $[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$
• B． $[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$
• C． $（-∞，-\sqrt{2}）∪（\sqrt{2}，+∞）$
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導函數(shù)，設(shè)出A，B的坐標，代入導函數(shù)，由函數(shù)在A，B處的導數(shù)等于0列式，換元后得到關(guān)于a的一元二次方程，結(jié)合線性規(guī)劃知識求得a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=ax+sinx+cosx，得f′（x）=a+cosx-sinx，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則f′（x₁）=a+cosx₁-sinx₁，f′（x₂）=a+cosx₂-sinx₂．
由曲線y=f（x）在點A、B處的切線互相垂直，得
a²+[（cosx₁-sinx₁）+（cosx₂-sinx₂）]a+（cosx₁-sinx₁）（cosx₂-sinx₂）+1=0．
令m=cosx₁-sinx₁，n=cosx₂-sinx₂，
則m∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，n∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴a²+（m+n）a+mn+1=0．
△=（m+n）²-4mn-4=（m-n）²-4，
∴0≤（m-n）²-4≤4．
當m-n=$±2\sqrt{2}$時，m+n=0，
又a=$\frac{-（m+n）±\sqrt{（m-n）^{2}-4}}{2}$．
∴-1≤a≤1．
∴函數(shù)f（x）的圖象上存在不同的兩點A，B，
使得曲線y=f（x）在點A，B處的切線互相垂直，則實數(shù)a的取值范圍為[-1，1]．
故選D．

點評 本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵在于由關(guān)于a的方程的根求解a的范圍，是有一定難度題目．