Question

定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）滿足：
①對任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；
②f（0）=-1；
③當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，都有f^′（x）＜0．
若方程f（x）=0在區(qū)間[a，3]上恰有3個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

Answer 1

（-3，-1]
分析：由已知中定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）滿足：①對任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；②f（0）=-1；我們易判斷出函數(shù)為周期函數(shù)，及其零點(diǎn)的分布情況，然后根據(jù)方程f（x）=0在區(qū)間[a，3]上恰有3個(gè)不同實(shí)根，易求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：∵函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，即f（1）=f（-1），
令x=-1，又由對任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；
則f（1）=f（-1）+f（1），故f（1）=f（-1）=0，
則f（x+2）=f（x）即函數(shù)是一個(gè)以2為周期的周期函數(shù)，
又∵當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，都有f^′（x）＜0．
故只有（2K+1，0）（k∈Z）為函數(shù)的零點(diǎn)，
若方程f（x）=0在區(qū)間[a，3]上恰有3個(gè)不同實(shí)根，
則三個(gè)實(shí)根分別為3，1，-1，
故a∈（-3，-1]，
故答案為：（-3，-1]．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中根據(jù)已知條件分析函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而判斷出函數(shù)零點(diǎn)的分布情況是解答本題的關(guān)鍵．