Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）當時恒有成立，求滿足條件的m的范圍；

（3）當時，令方程有兩個不同的根，，且滿足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）證明見解析.

【解析】

（1）求出和即可

（2）由，得，即

（3）先利用導數(shù)得出在上單調遞減，在上單調遞增，其中，然后分別求出在處的切線方程和在處的切線，然后結合圖象即可證明.

（1）由題意，當時，，．

．

∵．

∴函數(shù)在處的切線方程為：．

（2）由題意，當時恒有成立，

即對任意成立．

∵當時，恒成立，

∴對任意恒成立．

∴．

∴m的取值范圍為．

（3）證明：由題意，當時，．

．

①令，即，

根據(jù)圖，很明顯交點的橫坐標在1與之間，設為，

即的解為，（），且．

②令，即x，解得；

③令，即，解得．

∴在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得極小值．

∵，．

∴根據(jù)題意，畫圖如下：

由圖，①設函數(shù)在處的切線為，

∵．

∴直線的直線方程：，

令，解得；

②設函數(shù)在處的切線為，

∵．∴直線的直線方程：，

令，解得．

∴