Question

【題目】某地區(qū)現(xiàn)有一個(gè)直角梯形水產(chǎn)養(yǎng)殖區(qū)ABCD，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=800m，BC=1600m，CD=4000m，在點(diǎn)P處有一燈塔（如圖），且點(diǎn)P到BC，CD的距離都是1200m，現(xiàn)擬將養(yǎng)殖區(qū)ACD分成兩塊，經(jīng)過(guò)燈塔P增加一道分隔網(wǎng)EF，在△AEF內(nèi)試驗(yàn)養(yǎng)殖一種新的水產(chǎn)品，當(dāng)△AEF的面積最小時(shí)，對(duì)原有水產(chǎn)品養(yǎng)殖的影響最小．設(shè)AE=d．

（1）若P是EF的中點(diǎn)，求d的值；

（2）求對(duì)原有水產(chǎn)品養(yǎng)殖的影響最小時(shí)的d的值，并求△AEF面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）480; （2）對(duì)原有水產(chǎn)品養(yǎng)殖的影響最小時(shí)，d=480．△AEF面積的最小值為192000m2

【解析】

（1）建立平面坐標(biāo)系，求出直線AD，AC的方程，根據(jù)P為EF的中點(diǎn)列方程得出E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可計(jì)算d；

（2）根據(jù)基本不等式得出AEAF的最小值，進(jìn)而求出△AEF的面積最小值．

解：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則C（800，1600），B（800，0），P（-400，400），D（-3200，1600）．

AC所在直線方程為y=2x，AD所在直線方程為y=-x．

設(shè)E（-2m，m），F（n，2n），m＞0，＞0．

∵P是EF的中點(diǎn)，∴，解得，

∴E（-960，480），

∴d=|AE|==480．

（2）∵EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，∴kPE=kPF，

即=，化簡(jiǎn)得80m+240n=mn．

由基本不等式得：mn=80m+240n≥160，

即mn≥76800，當(dāng)且僅當(dāng)m=3n=480時(shí)等號(hào)成立．

∵kACkAD=-1，∴AC⊥AD，

∴S△AEF=AEAF=mn=mn≥76800=192000，

此時(shí)E（-960，480），d=AE=480．

故對(duì)原有水產(chǎn)品養(yǎng)殖的影響最小時(shí)，d=480．△AEF面積的最小值為192000m2．