Question

設(shè)f（x）=

-2x+m

2x+1+n

（m＞0，n＞0）．
（1）當(dāng)m=n=1時(shí)，證明：f（x）不是奇函數(shù)；
（2）設(shè)f（x）是奇函數(shù)，求m與n的值；
（3）在（2）的條件下，求不等式f（f（x））+f（

1

4

）＜0的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）舉出反例即可得證，比如計(jì)算f（-1），f（1）即可；
（2）運(yùn)用奇函數(shù)的定義：f（-x）=-f（x），化簡(jiǎn)得到恒等式，解方程，即可求得m，n；
（3）判斷f（x）是R上單調(diào)減函數(shù)，再由奇函數(shù)可得f（f（x））+f（

1

4

）＜0，即為f（x）＞-

1

4

，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可解得．

解答： 解：（1）當(dāng)m=n=1時(shí)，f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，
由于f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

- 1 2 +1

2

=

1

4

，
所以f（-1）≠-f（1），
則f（x）不是奇函數(shù)；        
（2）f（x）是奇函數(shù)時(shí)，f（-x）=-f（x），
即

-2-x+m

2-x+1+n

=-

-2x+m

2x+1+n

對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x成立．        
化簡(jiǎn)整理得（2m-n）•2^2x+（2mn-4）•2^x+（2m-n）=0，
這是關(guān)于x的恒等式，即有

2m-n=0 2mn-4=0

，
解得

m=-1 n=-2

或

m=1 n=2

．                          
經(jīng)檢驗(yàn)

m=1 n=2

符合題意．                                      
（3）由（2）可知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2

(-1+

2

2x+1

)，
易判斷f（x）是R上單調(diào)減函數(shù)；
由f(f(x))+f(

1

4

)＜0得：f(f(x))＜f(-

1

4

)⇒f(x)＞-

1

4

⇒2x＜3
解得，x＜log₂3，
即f（x）＞0的解集為（-∞，log₂3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．