Question

14．已知g（x）=（ax-$\frac{x}$-2a）e^x（a＞0），若存在x₀∈（1，+∞），使得g（x₀）+g'（x₀）=0，則$\frac{a}$的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，+∞）
• B． （-1，0）
• C． （-2，+∞）
• D． （-2，0）

Answer 1

分析 求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，問題等價于存在x＞1，2ax³-3ax²-2bx+b=0成立，求出$\frac{a}$=$\frac{{2x}^{3}-{3x}^{2}}{2x-1}$，設(shè)u（x）=$\frac{{2x}^{3}-{3x}^{2}}{2x-1}$（x＞1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出$\frac{a}$的范圍即可．

解答 解：∵g（x）=（ax-$\frac{x}$-2a）e^x，
∴g′（x）=（$\frac{{x}^{2}}$+ax-$\frac{x}$-a）e^x，
∴由g（x）+g′（x）=0，整理得2ax³-3ax²-2bx+b=0．
存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，
等價于存在x＞1，2ax³-3ax²-2bx+b=0成立，
∵a＞0，∴$\frac{a}$=$\frac{{2x}^{3}-{3x}^{2}}{2x-1}$，
設(shè)u（x）=$\frac{{2x}^{3}-{3x}^{2}}{2x-1}$（x＞1），
則u′（x）=$\frac{8x{[（x-\frac{3}{4}）}^{2}+\frac{3}{16}]}{{（2x-1）}^{2}}$，
∵x＞1，∴u′（x）＞0恒成立，
∴u（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴u（x）＞u（1）=-1，
∴$\frac{a}$＞-1，即$\frac{a}$的取值范圍為（-1，+∞），
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．