Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-（a+3）x+（2a+2）lnx．
（1）函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與2x-y+1=0平行，求a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若不等式4n²ln（

n+1

n

）≤2mn²+1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，然后由切線平行可知f′（1）=2，可求a；
（2）求導(dǎo)數(shù)f′（x），然后令f′（x）=0，在分類(lèi)討論利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性，
（3）現(xiàn)將不等式化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性和最值，求得m的范圍．

解答： 解：（1）∵f′（x）=x-a-3+

2a+2

x

，
又∵函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與2x-y+1=0平行，
∴f′（1）=2，即1-a-3+2a+2=2，解得a=2，
（2）f′（x）=x-a-3+

2a+2

x

=

1

x

（x-2）[x-（a+1）]，
令f′（x）=0，解得x₁=2，x₂=a+1，
①當(dāng)a＞1時(shí)，a+1＞2，
在（0，2]上，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，
在[2，a+1]上，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，
在[a+1，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，
②當(dāng)a=1時(shí)，在（0，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，
③當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，
在（0，a+1]上，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，
在[a+1，2]上，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，
在[2，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，
④當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，在[2，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）不等式4n²ln（

n+1

n

）≤2mn²+1等價(jià)于2ln（1+

1

n

）-

1

2n2

≤m，
令g（x）=2ln（1+x）-

1

2

x²，x∈（0，1]，
g′（x）=

2

1+x

-x=-

(x+2)(x-1)

1+x

，
在（0，1]上g′（x）≥0，g（x）是增函數(shù)，
所以g（x）≤g（1）=2ln2-

1

2

，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2ln2-

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和最值問(wèn)題，涉及到含參討論，要細(xì)心，不可馬虎．