Question

如圖，已知二次函數(shù)，直線，直線（其中，為常數(shù)）；.若直線的圖象以及的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求陰影面積s關(guān)于t的函數(shù)的解析式；

（Ⅲ）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

（1）（2） ，   

（3）所求的實數(shù)m的取值范圍是

解析:

（I）由圖可知二次函數(shù)的圖象過點（0，0），（1，0）

則，又因為圖象過點（2，6）∴6=2a ∴a=3

∴函數(shù)的解析式為  ………3分

（Ⅱ）由得

∵，∴直線與的圖象的交點橫坐標(biāo)分別為0,1+t ,

 ……………5分

由定積分的幾何意義知：

 ，              ……………8分

（III）∵曲線方程為，，∴，

∴點不在曲線上。設(shè)切點為，則點M的坐標(biāo)滿足

,因，故切線的斜率為

，整理得.

∵過點可作曲線的三條切線，

∴關(guān)于x₀方程有三個實根.             ……………12分

設(shè)，則，由得

∵當(dāng)∴在上單調(diào)遞增，

∵當(dāng)，∴在上單調(diào)遞減.

∴函數(shù)的極值點為，

∴關(guān)于x₀方程有三個實根的充要條件是，

解得，故所求的實數(shù)m的取值范圍是。     ………15分