考點:數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)先利用前n項積與前(n-1)項積的關(guān)系,得到等比數(shù)列{a
n}的第三項的值,結(jié)合首項的值,求出通項a
n,然后現(xiàn)利用條件求出通項b
n;
(2)直接利用裂項相消法求數(shù)列{c
n}的前n項和,然后放縮得答案;
(3)把a(bǔ)
2n-1代入d
n=log
2a
2n-1,由等差數(shù)列的前n項和公式求得d
m+d
m+1+d
m+2+…+d
m+k,并由其等于65,通過分析65的因數(shù)得到
,從而求得m,k的值.
解答:
(1)解:∵a
1a
2a
3…a
n=
()bn ①,
當(dāng)n≥2,n∈N
*時,
a1a2a3…an-1=()bn-1 ②,
由①②知:
an=()bn-bn-1,
令n=3,則有
a3=()b3-b2.
∵b
3=6+b
2,
∴a
3=8.
∵{a
n}為等比數(shù)列,且a
1=2,
設(shè){a
n}的公比為q,則
q2==4,
由題意知a
n>0,∴q=2.
∴
an=2n(n∈N
*).
又由a
1a
2a
3…a
n=
()bn,得:
21•22•23…2n=()bn,
即
2=()bn,
∴b
n=n(n+1)(n∈N
*);
(2)證明:C
n=
=
=-.
∴c
1+c
2+c
3+…+c
n=
1-+-+…+-=
1-<1;
(3)解:d
n=log
2a
2n-1=
log222n-1=2n-1,
則d
m+d
m+1+d
m+2+…+d
m+k=(2m-1)+(2m+1)+…+(2m+2k-1)=
,
由
=65,得(2m+k-1)(k+1)=65.
∵m,k∈N
*,∴(2m+k-1),(k+1)∈N
*,
則
,解得:m=5,k=4.
點評:本題考查了等比數(shù)列通項公式、求和公式,考查了裂項相消法求數(shù)列的和,考查了對數(shù)的運算性質(zhì),對于(3)的求解,正確掌握65的因數(shù)是關(guān)鍵,是中檔題.