Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C

x2

4

+

y2

3

=1的左，右焦點(diǎn)，以線段F₁F₂為直徑的圓與圓C關(guān)于直線x+y-2=0對稱．
（l）求圓C的方程；
（2）過點(diǎn)P（m，0）作圓C的切線，求切線長的最小值以及相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）關(guān)鍵是求出以線段F₁F₂為直徑的圓的圓心關(guān)于直線x+y-2=0對稱的點(diǎn)即圓C的圓心，半徑是

|F1F2|

2

=1；
（2）切線、圓半徑、點(diǎn)P與圓心的連線，他們構(gòu)成的直角三角形，切線最小及點(diǎn)P到圓心的距離最�。�

解答： 解：（1）由題意知，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），線段F₁F₂的中點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)．
設(shè)點(diǎn)0關(guān)于直線x+y-2=0對稱的點(diǎn)C坐標(biāo)為（（x₀，y₀），則，

y0 x0 =1 x02 2 + y02 2 -2=0

，
解得

x0=2 y0=2

，即C（2，2），
半徑為

|F1F2|

2

=1，
所以圓C的方程為：（x-2）²+（y-2）²=1；
（2）切線長：

|PC|2-1

，
當(dāng)|PC|最小時(shí)，切線長取得最小值，
當(dāng)PC垂直于x軸，及點(diǎn)P位于（2，0）處時(shí)，|PC|_min=2，
此時(shí)切線長取最小值

22-1

=

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查圓的對稱問題，圓的切線問題．