Question

14．已知函數(shù)f（x）=a^2-x-8（實(shí)數(shù)a＞0，a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；
（2）若x∈[1，+∞），求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，然后結(jié)合f（-x）與f（x）的關(guān)系得答案；
（2）分a＞1與0＜a＜1可得原函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求得函數(shù)值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=a^2-x-8是非奇非偶函數(shù)．
證明：函數(shù)f（x）=a^2-x-8的定義域?yàn)镽，
又f（-x）=a^2+x-8≠-f（x），且f（-x）=a^2+x-8≠f（x），
∴函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
（2）由題意，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=a^2-x-8是減函數(shù)，
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）∈（-8，a-8]；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）∈[a-8，+∞）．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=a^2-x-8的值域?yàn)椋?8，a-8]；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=a^2-x-8的值域?yàn)閇a-8，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的判定方法，考查函數(shù)值域的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．