函數(shù)，數(shù)列，滿足0＜＜1， ，數(shù)列滿足，
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：0＜＜＜1；
（Ⅲ）若且＜，則當n≥2時，求證：＞

（Ⅰ）函數(shù)的遞減區(qū)間（-1,0），遞增區(qū)間（0，+）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

解析試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先確定定義域，可通過單調(diào)性的定義，或求導確定單調(diào)區(qū)間，由于，含有對數(shù)函數(shù)，可通過求導來確定單調(diào)區(qū)間，對函數(shù)求導得，由此令，，解出就能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：0＜＜＜1，可先證0＜＜1，，再證數(shù)列單調(diào)遞減，可先證0＜＜1，若能求出通項公式，利用通項公式來證，由已知0＜＜1， ，顯然無法求通項公式，可考慮利用數(shù)學歸納法來證，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性易證，證數(shù)列單調(diào)遞減，可用作差比較法＜0證得，從而的結(jié)論；（Ⅲ）若且＜，則當n≥2時，求證：＞，關(guān)鍵是求的通項公式，由，，所以，可得，只要證明＞，，即證，因為且＜，則，由此可得，所以，即證得．
試題解析：（Ⅰ）利用導數(shù)可求得函數(shù)的遞減區(qū)間（-1,0），遞增區(qū)間（0，+）
（Ⅱ）先用數(shù)學歸納法證明0＜＜1，.
①當n=1時，由已知得結(jié)論成立.②假設(shè)時，0＜＜1成立.則當時由（1）可得函數(shù)在上是增函數(shù)，所以＜＜=1-＜1，所以0＜＜1，即n=k+1時命題成立，由①②可得0＜＜1，成立.
又＜0，所以＜成立.
所以0＜＜＜1
（Ⅲ）因為，，所以，
所以……①
因為則，所以
因為，當時，，
所以……②
由①②兩式可知
考點：函數(shù)與導數(shù)，函數(shù)單調(diào)性，

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，其中且．
(Ⅰ)當，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)若時，函數(shù)有極值，求函數(shù)圖象的對稱中心的坐標；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù) （是自然對數(shù)的底數(shù)），是否存在a使在上為減函數(shù)，若存在，求實數(shù)a的范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）若在是增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）已知，對于函數(shù)圖象上任意不同兩點,，其中，直線的斜率為，記，若求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）內(nèi)有極值．
（I）求實數(shù)a的取值范圍；
（II）若x1∈（0，），x2∈（2，+∞）且a∈[，2]時，求證：f（x2）﹣f（x1）≥ln2+．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本(萬元)，已知產(chǎn)品單價P(萬元)與產(chǎn)品件數(shù)x滿足:，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，產(chǎn)量定為多少件時總利潤最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的圖象如圖，直線在原點處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為.

（1）求的解析式；
（2）若常數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，且的圖象在它們與坐標軸交點處的切線互相平行.
（1）求的值；
（2）若存在使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）對于函數(shù)與公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)，我們把的值稱為兩函數(shù)在處的偏差，求證：函數(shù)與在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
（2）當函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應函數(shù)值的取值區(qū)間相同時，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間.，試問函數(shù)在上是否存在保值區(qū)間？若存在，請求出一個保值區(qū)間；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè).
(Ⅰ)若對一切恒成立,求的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè),且是曲線上任意兩點,若對任意的,直線AB的斜率恒大于常數(shù),求的取值范圍;
(Ⅲ)求證:.

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