Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象在y軸上的截距為1，對于任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2x-2恒成立．
（I）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）設集合A={f（x）|n＜x≤n+1，f（x）∈Z，n∈N^*}，記A中的元素個數(shù)為a_n．試求a₁，a₂和數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．由題意f（x+1）=f（x）+2x-2，從而2ax+a+b=2x-2恒成立．由此求出f（x）=x²-3x+1．
（II）由f（x）=x²-3x+1，得：-

5

4

≤f(x)≤-1，由此能求出結果．

解答： 解：（I）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
由題意f（x+1）=f（x）+2x-2，
有a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x-2，
整理得：2ax+a+b=2x-2恒成立．
∴

2a=2 a+b=-2

解得：

a=1 b=-3

，
又y=f（x）在y軸上的截距為1，
∴有f（0）=c=1
故f（x）=x²-3x+1．（4分）
（II）由f（x）=x²-3x+1，
知f(x)在區(qū)間(-∞，

3

2

]上為減函數(shù)，在區(qū)間[

3

2

，+∞)上為增函數(shù)．當n=1時 ，即1＜x≤2時，f(

3

2

)≤f(x)≤f(2)，
解得：-

5

4

≤f(x)≤-1，
∵f（x）∈Z故f（x）=-1，
∴a₁=1當n=2時，即2＜x≤3時，f（2）＜f（x）≤f（3），
解得：-1＜f（x）≤1，
∵f（x）∈Z，故f（x）取到0和-1兩個值，
∴a₂=2當n≥2時，即n＜x≤n+1時，f（n）＜f（x）≤f（n+1），
解得：n²-3n+1＜f（x）≤（n+1）-3（n+1）+1，且f（x）∈Z，
∴an=(n+1)-3(n+1)+1-(n2-3n+1)=2n-2，
∴an=

1，(n=1) 2n-2，(n≥2)

．（10分）

點評：本題考查y=f（x）的解析式的求法，考查a₁，a₂和數(shù)列{a_n}的通項公式的求法，是中檔題，解題時要注意函數(shù)性質的合理運用．