Question

【題目】已知函數(shù)，，其中為常數(shù)，函數(shù)和的圖象在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線互相平行．

（1）求的值；

（2）若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）令，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）分別求出與與y軸和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩函數(shù)在與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值相等求得a的值；

（2）由（1）中求得的a值得到的解析式，代入，把存在使不等式恒成立轉(zhuǎn)化為存在，不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值后得答案；

（3）把，代入，去絕對值后得到（），借助于兩個(gè)輔助函數(shù)（），（），證得，，兩式聯(lián)立后得答案．

（1）的圖象與軸的交點(diǎn)為，的圖象與軸的交點(diǎn)為，

，（），由，，得；

（2）因?yàn)?/span>，令，，

則，

所以在上是減函數(shù)，所以，

因?yàn)?/span>“存在，使不等式成立”的充要條件是，

所以的取值范圍為；

（3）（），

記（），因?yàn)?/span>，所以在上是增函數(shù)，

又因?yàn)?/span>，所以，，所以，①

記（），因?yàn)?/span>，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

所以，所以，，所以，②

由①②可得，所以，即．