Question

已知y=f（x），，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）-3．
（Ⅰ）當(dāng)n∈N^*時(shí)求f（n）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若，求b_n；
（ III）記，試證c₁+c₂+…+c₂₀₁₀＜89．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令，得，由此導(dǎo)出f（n+1）-f（n）=2，從而求出當(dāng)n∈N^*時(shí)求f（n）的表達(dá)式．
（Ⅱ）由得=，由此能夠?qū)С鯾_n．
（ III）由題設(shè)條件可推出，再由放縮法可以證明c₁+c₂+…+c₂₀₁₀＜89．
解答：解：（Ⅰ）令，
得
故f（n+1）=f（n）+f（1）-3=f（n）+2，
∴f（n+1）-f（n）=2
當(dāng)n∈N^*時(shí)f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]++[f（n）-f（n-1）]
=5+2（n-1）=2n+3
（Ⅱ）由
得=
∴
故
=1+3+5++（2n-1）=n²
∴
（ III）由（Ⅱ）知，c₁=1
∵
∴
=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．