Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一系列對應(yīng)值如表：

x	- π 6	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3	17π 6	10π 3
y	-1	1	3	1	-1	1	3	1

（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f（x）的一個解析式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，若函數(shù)y=f（kx）（k＞0）的最小正周期為

2π

3

，當(dāng)x∈[0，

π

3

]時，方程f（kx）=m恰有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由表中的數(shù)據(jù)可得函數(shù)的最大值3，最小值-1，周期T=2π，可求ω=1，由

A+B=3 -A+B=-1

解方程可得B=1，A=2，由函數(shù)過（

5π

6

，3）代入可得sin（

5π

6

+φ）=1及|φ|＜

π

2

 可求φ，從而可求函數(shù)的解析式
（2）函數(shù)y=f（kx）（k＞0）周期為

2π

3

，求出k，x∈[0，

π

3

]，推出3x-

π

3

的范圍，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合容易求出m的范圍．

解答： 解：（1）由表中的數(shù)據(jù)可得函數(shù)的最大值3，最小值-1，周期T=2π=

11π

6

+

π

6

∴ω=1
∴

A+B=3 -A+B=-1

解方程可得B=1，A=2
∴y=2sin（x+φ）+1
∵函數(shù)過（

5π

6

，3）代入可得sin（

5π

6

+φ）=1
∵|φ|＜

π

2

∴φ=-

π

3

，
∴y=2sin（x-

π

3

）+1
（2）∵函數(shù)y=f（kx）=2sin（kx-

π

3

）+1的周期為

2π

3

，
又k＞0，∴k=3，
令t=3x-

π

3

，∵x∈[0，

π

3

]，∴t∈[-

π

3

，

2π

3

]，
如圖，sint=m在[-

π

3

，

2π

3

]上有兩個不同的解，則mm∈[

3

2

，1），
∴方程f（kx）=m在x∈[0，

π

3

]時恰好有兩個不同的解，則m∈[

3

+1，3），
即實數(shù)m的取值范圍是[

3

+1，3）．

點評：本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）+B的部分圖象確定函數(shù)的解析式，一般步驟是：由函數(shù)的最值確定A，B的值，由函數(shù)所過的特殊點確定周期T，利用周期公式T=

2π

ω

求ω，再把函數(shù)所給的點（一般用最值點）的坐標(biāo)代入求φ，從而求出函數(shù)的解析式；還考查了正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，屬于基礎(chǔ)題．