Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．
（1）證明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì),二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由余弦定理得BD=

3

，由勾股定理，得BD⊥AD，由線線面垂直得BD⊥PD，從而BD⊥平面PAD，由此能證明PA⊥BD．
（2）以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面APB的法向量和平面PBC的法向量，由此能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答： （1）證明：因為∠DAB=60°，AB=2，AD=1，
由余弦定理得BD=

4+1-2×2×1×cos60°

=

3

，
∴BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD，
∵PD⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PD，又AD∩PD=D，
∴BD⊥平面PAD，又PA?平面PAD，
∴PA⊥BD．
（2）解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得A（1，0，0），P（0，0，1），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0），

PA

=（1，0，-1），

PB

=（0，

3

，-1），

PC

=（-1，

3

，-1），
設(shè)平面APB的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • PA =x-z=0 n • PB = 3 y-z=0

，取y=

3

，得

n

=（3，

3

，3），
設(shè)平面PBC的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • PB = 3 b-c=0 m • PC =-a+ 3 b-c=0

，取b=

3

，得

m

=（0，

3

，3），
設(shè)二面角A-PB-C的平面角為θ，由圖象知θ為鈍角，
∴cosθ=-|cos＜

n

，

m

＞|=-|

n • m

| n |•| m |

|=-|

3+9

21 • 12

|=-

2 7

7

．
∴二面角A-PB-C的余弦值為-

2 7

7

．

點評：本題考查異面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意余弦定理、勾股定理、向量法的合理運用，注意空間思維能力的培養(yǎng)．