Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n∈N^*，滿足關(guān)系式2S_n=3a_n-3．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是，前n項(xiàng)和為T_n，求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，總有T_n＜1．

Answer 1

解：（I）由已知得
故2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1
即a_n=3a_n-1，n≥2
故數(shù)列a_n為等比數(shù)列，且q=3
又當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=3a₁-3，∴a₁=3，
∴a_n=3ⁿ，n≥2．
而a₁=1亦適合上式
∴a_n=3ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n
=
=1-．
分析：（I）由已知得，故2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1．由此可求出a_n=3ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ），所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=1-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)計(jì)算．