Question

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圓為⊙H．
（1）若直線l過點(diǎn)C，且被⊙H截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；
（2）對(duì)于線段BH上的任意一點(diǎn)P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，求⊙C的半徑r的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）先求出圓H的方程，再根據(jù)直線l過點(diǎn)C，且被⊙H截得的弦長(zhǎng)為2，設(shè)出直線方程，利用勾股定理，即可求直線l的方程；
（2）設(shè)P的坐標(biāo)，可得M的坐標(biāo)，代入圓的方程，可得以（3，2）為圓心，r為半徑的圓與以（6-m，4-n）為圓心，2r為半徑的圓有公共點(diǎn)，由此求得⊙C的半徑r的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意，A（-1，0），B（1，0），C（3，2），∴AB的垂直平分線是x=0
∵BC：y=x-1，BC中點(diǎn)是（2，1）
∴BC的垂直平分線是y=-x+3
由

x=0 y=-x+3

，得到圓心是（0，3），∴r=

10

∵弦長(zhǎng)為2，∴圓心到l的距離d=3．
設(shè)l：y=k（x-3）+2，則d=

|-3-3k+2|

k2+1

=3，∴k=

4

3

，∴l(xiāng)的方程y=

4

3

x-2；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，x=3，也滿足題意．
綜上，直線l的方程是x=3或y=

4

3

x-2；
（2）直線BH的方程為3x+y-3=0，設(shè)P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）．
因?yàn)辄c(diǎn)M是點(diǎn)P，N的中點(diǎn)，所以M（

m+x

2

，

n+y

2

），
又M，N都在半徑為r的圓C上，所以

(x-3)2+(y-2)2=r2 ( m+x 2 -3)2+( n+y 2 -2)2=r2

，即

(x-3)2+(y-2)2=r2 (x+m-6)2+(y+n-4)2=4r2

因?yàn)樵撽P(guān)于x，y的方程組有解，即以（3，2）為圓心，r為半徑的圓與以（6-m，4-n）為圓心，2r為半徑的圓有公共點(diǎn)，所以（2r-r）²＜（3-6+m）²+（2-4+n）²＜（r+2r）²，
又3m+n-3=0，
所以r²＜10m²-12m+10＜9r²對(duì)任意m∈[0，1]成立．
而f（m）=10m²-12m+10在[0，1]上的值域?yàn)閇

32

5

，10]，
又線段BH與圓C無公共點(diǎn)，所以（m-3）²+（3-3m-2）²＞r²對(duì)任意m∈[0，1]成立，即r2＜

32

5

．
故圓C的半徑r的取值范圍為[

10

3

，

4 10

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．