Question

設函數(shù)f（x）對于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求f（0）；
（2）證明f（x）是奇函數(shù)；
（3）試問在x∈[-3，3]時f（x）是否有最大、最小值？如果有，請求出來，如果沒有，說明理由．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）令x=0，由f（0+y）=f（0）+f（y）得f（0）=0；
（2）令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，得f（x）為奇函數(shù)．
（3）令x₂＞x₁則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），再由已知，即可得到f（x）在R上是減函數(shù)，再由f（1）-2，得到f（3）=-6，f（-3）=6，進而判斷f（x）在[-3，3]上的最值．

解答： （1）解：∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=0，則f（0+y）=f（0）+f（y），
∴f（0）=0；
（2）證明：令y=-x，
∴f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
∴f（x）為R上的奇函數(shù)；
（3）解：令x₂＞x₁
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)．
∵f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=-2，
∴f（2）=2f（1）=-4，f（3）=f（2）+f（1）=-6，
∴f（-3）=6，
∵f（x）在R上是減函數(shù)，
∴f（x）在[-3，3]上的最大值為f（-3）=6，最小值為f（3）=-6．

點評：本題以抽象函數(shù)為載體考查了函數(shù)求值，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值，熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解答的關(guān)鍵．