Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₃=24，S₁₁=0．
（1）求a_n；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（3）當n為何值時，S_n最大，并求S_n的最大值

Answer 1

分析：（1）分別利用等差數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的前n項和的公式由a₃=24，S₁₁=0表示出關(guān)于首項和公差的兩個關(guān)系式，聯(lián)立即可求出首項與公差，即可得到數(shù)列的通項公式；
（2）根據(jù)（1）求出的首項與公差，利用等差數(shù)列的前n項和的公式即可表示出S_n；
（3）根據(jù)（2）求出的前n項和的公式得到S_n是關(guān)于n的開口向下的二次函數(shù)，根據(jù)n為正整數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求出S_n的最大值即可．

解答：解：（1）依題意有

a1+2d=24 11a1+ 11×10 2 d=0

，
解之得

a1=40 d=-8

，∴a_n=48-8n．
（2）由（1）知，a₁=40，a_n=48-8n，
∴S_n=

(a1+an)n

2

=

(40+48-8n)n

2

=-4n²+44n．
（3）由（2）有，S_n=-4n²+44n=-4(n-

11

2

)2+121，
故當n=5或n=6時，S_n最大，且S_n的最大值為120．

點評：此題考查學(xué)生靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式，靈活運用二次函數(shù)求最值的方法解決實際問題，是一道中檔題．