Question

已知α，β∈（0，π），sinα=，sin（α+β）=，則cosβ=________．

Answer 1

-，或
分析：①當(dāng)α為銳角時(shí)，則α+β為鈍角，此時(shí)，求出cosα 和cos（α+β）的值，利用兩角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．②當(dāng)α為鈍角時(shí)，則α+β為鈍角，此時(shí)，求出cosα 和cos（α+β） 的值，再利用兩角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．
解答：∵已知α，β∈（0，π），sinα=，sin（α+β）=，sinα＞sin（α+β），
∴①當(dāng)α為銳角時(shí)，則α+β為鈍角，此時(shí)，cosα=，cos（α+β）=-，
cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β） cosα+sin（α+β） sinα=-×+=-．
②當(dāng)α為鈍角時(shí)，則α+β為鈍角，此時(shí)，cosα=-，cos（α+β）=-，
cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-×（-）+=，
故答案為-，或．
點(diǎn)評：本題主要考查兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．