Question

18．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一個焦點為F，該橢圓上有一點A，滿足△OAF是等邊三角形（O為坐標原點），則橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{3}-1$
• B． $2-\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $2-\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，作出橢圓的圖象，分析可得A的坐標，將A的坐標代入橢圓方程可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{3{c}^{2}}{4^{2}}$=1，①；結合橢圓的幾何性質(zhì)a²=b²+c²，②；聯(lián)立兩個式子，解可得c=（$\sqrt{3}$-1）a，由離心率公式計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，如圖，設F（c，0），
又由△OAF是等邊三角形，則A（$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}c}{2}$），
A在橢圓上，則有$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{3{c}^{2}}{4^{2}}$=1，①；
a²=b²+c²，②；
聯(lián)立①②，解可得c=（$\sqrt{3}$-1）a，
則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$-1；
故選：A．

點評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，關鍵是結合題意，由等邊三角形的性質(zhì)表示出A的坐標．