Question

已知圓過(guò)點(diǎn)，，并且直線平分圓的面積．
（1）求圓的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；  ②若，求的值．

Answer 1

（1）；（2）①：實(shí)數(shù)的取值范圍是，②：.

試題分析：（1）由題意直線平分圓的面積可知圓心在直線上，因此可將的坐標(biāo)設(shè)為，再由圓過(guò)點(diǎn)，可知，即可得到關(guān)于的方程：
，解得，即有圓心坐標(biāo)，半徑，從而可知圓的方程為；（2）①：根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為，代入圓方程并化簡(jiǎn)可得，從而直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩個(gè)不想等的實(shí)數(shù)根，從而，②：由題意可知若設(shè)設(shè)，，則，為方程的兩根，從而，，，因此可以由得到關(guān)于的方程：，即.
試題解析：（1）∵平分圓的面積，∴圓心在直線上，∴設(shè)，又∵圓過(guò)點(diǎn)，，
∴，即，∴，半徑，
∴圓的方程為；         4分；
①：設(shè)直線的方程為，代入并化簡(jiǎn)可得：，
∵直線與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，∴，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是，        4分
②：設(shè)，，由①可知，，
∴，
∴，
∴.         4分