Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₃=a₄+2，且a₁，a₂-1，a₃-1成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，求證：

1

3

≤T_n＜

1

2

（n∈N^*）

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數(shù)列的前n項和公式和通項公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，求出等差數(shù)列的首項和公差，由此能求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）由

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和法能證明

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
∵S₃=a₄+2，∴3a1+

3×2×d

2

=a1+3d+2．①…（3分）
又∵a₁，a₂-1，a₃-1成等比數(shù)列，
∴a1(a1+2d-1)=(a1+d-1)2．②…（5分）
由①②解得a₁=1，d=2．…（6分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…（8分）
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)．…（10分）
∴當(dāng)n=1時，T1=

1

2

(1-

1

2×1+1

)=

1

3

，
當(dāng)n＞1時，Tn＜

1

2

，
∴

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．