Question

命題p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0（其中a＞0），命題q：實數(shù)m滿足

|x-1|≤2 x+3 x-2 ＞0

（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：（1）將a=1帶入不等式x²-4ax+3a²＜0并解該不等式得1＜x＜3，解不等式組

|x-1|≤2 x+3 x-2 ＞0

，得2＜x≤3；
這樣便得到命題p：1＜x＜3，命題q：2＜x≤3，根據(jù)p∧q為真得，p，q都為真，所以求命題p，q下x的范圍的交集即可；
（2）命題p：a＜x＜3a，命題q：2＜x≤3，由已知條件知q是p的充分不必要條件，所以便可得到限制a的不等式組

a≤2 3a＞3

，解該不等式組即得a的取值范圍．

解答： 解：（1）a=1時，解x²-4x+3＜0，得1＜x＜3；
解

|x-1|≤2 x+3 x-2 ＞0

得，2＜x≤3；
∴命題p：1＜x＜3，命題q：2＜x≤3；
∵p∧q為真，∴p，q都為真，∴1＜x＜3，且2＜x≤3；
∴2＜x＜3；
∴實數(shù)x的取值范圍為（2，3）；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件；
解x²-4ax+3a²＜0得a＜x＜3a；
∴

a≤2 3a＞3

，解得1＜a≤2；
∴實數(shù)a的取值范圍是（1，2]．

點評：考查解一元二次不等式，分式不等式，絕對值不等式，p∧q的真假和p，q真假的關(guān)系，若￢p，則￢q，的逆否命題是若q，則p，及充分不必要條件的定義．