Question

設函數f（x）=x³+bx²+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）-f'（x）是奇函數．
（Ⅰ）求b，c的值．
（Ⅱ）求g（x）的單調區(qū)間與極值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據g（x）=f（x）-f'（x）是奇函數，且f'（x）=3x²+2bx+c能夠求出b與c的值．
（2）對g（x）進行求導，g'（x）＞0時的x的取值區(qū)間為單調遞增區(qū)間，g'（x）＜0時的x的取值區(qū)間為單調遞減區(qū)間．g'（x）=0時的x函數g（x）取到極值．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+bx²+cx，∴f'（x）=3x²+2bx+c．
從而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c
是一個奇函數，所以g（0）=0得c=0，由奇函數定義得b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=x³-6x，從而g'（x）=3x²-6，
當g'（x）＞0時，x＜-或x＞，
當g'（x）＜0時，-＜x＜，
由此可知，的單調遞增區(qū)間；的單調遞減區(qū)間；
g（x）在x=時取得極大值，極大值為，g（x）在x=時取得極小值，極小值為．
點評：本題主要考查對導數的理解．導數大于0時可求原函數的單調遞增區(qū)間，導數小于0時可求原函數的單調遞減區(qū)間，取到極值時導數為0．