Question

已知函數(shù)f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x³，
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）求證：對定義域內(nèi)的所有x，f（x）＞0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合函數(shù)的定義域即可證明對定義域內(nèi)的所有x，f（x）＞0．

解答： 解：（1）要使函數(shù)f（x）有意義，則2^x-1≠0，即x≠0，則函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}．
（2）∵f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x³=

2x+1

2(2x-1)

x³，
∴f（-x）=

2-x+1

2(2-x-1)

•(-x)3=

2x+1

2(2x-1)

•x³=f（x），
則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（3）∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴只要證明當x＞0時，f（x）＞0，即可．
當x＞0，2^x-1＞0，此時（

1

2x-1

+

1

2

）x³＞0，即f（x）＞0成立，
綜上對定義域內(nèi)的所有x，f（x）＞0．

點評：本題主要考查函數(shù)定義域，奇偶性以及函數(shù)值的求解和證明，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．