Question

函數(shù)y=

x2+k

x2+4

，其中k為實(shí)數(shù)，求函數(shù)y的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法，將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合f（t）=t+

k-4

t

單調(diào)性的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：y=

x2+k

x2+4

=

x2+4+k-4

x2+4

=

x2+4

+

k-4

x2+4

，
設(shè)t=

x2+4

，則t≥2，
則函數(shù)等價(jià)為y=f（t）=t+

k-4

t

，（t≥2），
若k-4＜0，即k＜4，則函數(shù)y=f（t）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值為f（2）=2+

k-4

2

=

k

2

，
若k=4，則函數(shù)f（t）=t在[2，+∞）上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值為f（2）=

k

2

=

4

2

=2，
若k＞4，函數(shù)y=f（t）=t+

k-4

t

，在（0，

k-4

）上單調(diào)遞減，在（

k-4

，+∞）上遞增，
若

k-4

≤2，即0＜k-4≤4，則4＜k≤8時(shí)函數(shù)y=f（t）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值為f（2）=2+

k-4

2

=

k

2

，
若

k-4

＞2，即k-4＞4，則k＞8時(shí)，函數(shù)在x=

k-4

時(shí)，取得最小值，最小值為f（

k-4

）=2

k-4

，
綜上當(dāng)k≤8時(shí)，函數(shù)的最小值為f（2）=2+

k-4

2

=

k

2

，
當(dāng)k＞8時(shí)，函數(shù)的最小值為2

k-4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用函數(shù)f（t）=t+

k-4

t

的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．