已知方程x2+px+q=0有兩個相異的實根.
求證:若k≠0,則方程x2+px+q+k(2x+p)=0也有兩個相異的實根,并且僅有一個根在前一個方程的兩根之間.
答案:證明:(1)∵方程x2+px+q=0有相異的兩個實根, ∴Δ1=p2-4q>0. 又∵k≠0, ∴方程x2+px+q+k(2x+p)=0的判別式 Δ2=(p+2k)2-4(q+kp)=p2+4kp+4k2-4q-4kp=p2-4q+4k2>0. ∴方程x2+px+q+k(2x+p)=0有兩個相異實根. (2)設(shè)f1(x)=x2+px+q,f2(x)=x2+px+q+k(2x+p),且x1、x2是f1(x)=0的兩根. 則f2(x1)f2(x2)=[x12+(p+2k)x1+(q+kp)]·[x22+(p+2k)x2+(q+kp)] =(2kx1+kp)(2kx2+kp)=k2(4q-p2)<0. ∴方程f2(x)=0在x1與x2之間只有一個實根.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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