Question

設命題p：?x∈R，x²+x≥a；命題q：?x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0，如果命題p真且命題q假，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：命題p：?x∈R，x²+x≥a，可得a≤（x²+x）_min，利用二次函數的單調性即可得出；命題q：?x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0，可得△≥0．再利用命題p真且命題q假，即可得出．

解答： 解：命題p：?x∈R，x²+x≥a，∴a≤（x²+x）_min=[(x+

1

2

)2-

1

4

]min=-

1

4

，∴a≤-

1

4

；
命題q：?x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0，∴△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≥1或a≤-2．
∵命題p真且命題q假，∴

a≤- 1 4 a≤-2或a≥1

，解得a≤-2．
∴a的取值范圍是a≤-2．

點評：本題考查了二次函數的單調性、一元二次方程的實數根與判別式的關系、簡易邏輯的判定，屬于基礎題．