Question

給定拋物線C：y²=4x，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）設(shè)l的斜率為1，求與夾角的大��；
（Ⅱ）設(shè)=，若λ∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由拋物線方程可求得焦點坐標(biāo)，進而根據(jù)直線斜率得到l的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，進而設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)韋達定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，進而求得，最后可求得cos＜＞得到夾角的值．
（II）根據(jù)得關(guān)于x₂和y₂的方程組，進而求得x₂=λ．得到B的坐標(biāo)，根據(jù)焦點坐標(biāo)可得直線的方程，進而求得直線在y軸上的截距，根據(jù)=，判斷在[4，9]上是遞減的，進而得到答案．
解答：解：（I）C的焦點為F（1，0），直線l的斜率為1，所以l的方程為y=x-1．
將y=x-1代入方程y²=4x，并整理得x²-6x+1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=6，x₁x₂=1，=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-3.
cos＜＞=
所以與夾角的大小為π-arccos．
解：（II）由題設(shè)知得：（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），即
由（2）得y₂²=λ²y₁²，∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，∴x₂=λ²x₁（3）
聯(lián)立（1）（3）解得x₂=λ．依題意有λ＞0．
∴B（λ，2）或B（λ，-2），又F（1，0），
得直線l的方程為（λ-1）y=2（x-1）或（λ-1）y=-2（x-1）
當(dāng)λ∈[4，9]時，l在y軸上的截距為或-
由=，可知在[4，9]上是遞減的，
∴，--
直線l在y軸上截距的變化范圍是．
點評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用和拋物線與直線的關(guān)系．考查了學(xué)生對圓錐曲線知識的綜合掌握．