Question

表面積為4

3

的正四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（　�。�

• A、

  6

  3

  π
• B、

  2 6

  3

  π
• C、

  6

  π
• D、

  6

  27

  π

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積,球內(nèi)接多面體

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：將正四面體補(bǔ)成正方體，再將正方體放在一個(gè)球體中，利用它們之間的關(guān)系求解．

解答： 解：如圖，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體，
∵表面積為4

3

的正四面體，
正四面體棱長(zhǎng)為A，

3

4

a2=

3

，解得a=2，
∴正方體的棱長(zhǎng)是

2

，
又∵球的直徑是正方體的對(duì)角線，設(shè)球半徑是R，
∴2R=

6

，
∴R=

6

2

，
∴球的體積為

4

3

π(

6

2

)3=

6

π．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線，從而將問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化．若已知正四面體V-ABC的棱長(zhǎng)為a，求外接球的半徑，可以構(gòu)造出一個(gè)球的內(nèi)接正方體，再應(yīng)用對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑可求得．