在△ABC中，內角A、B、C所對的邊的長分別為a，b，c，證明下面問題．
（Ⅰ）
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥2
3
；
（Ⅱ）
1
A
+
1
B
+
1
C
≥
9
π
．
考點：不等式的證明
專題：證明題,不等式的解法及應用
分析：利用三項的均值不等式可得結論．
解答： 證明：（Ⅰ）因為a，b，c為正實數(shù)，
由均值不等式可得
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
≥3
3
1
a3
•
1
b3
•
1
c3
，即
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
≥
3
abc

所以
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥
3
abc
+abc，
而
3
abc
+abc≥2
3
abc
•abc
=2
3
，所以
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥2
3
．…（5分）
（Ⅱ）
1
A
+
1
B
+
1
C
≥3
3
1
ABC
=
3
3ABC
≥
3
A+B+C
3
=
9
π
．…（10分）
點評：本題考查不等式的證明，考查三項的均值不等式，正確運用三項的均值不等式是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列四個判斷：
①某校高三（1）班的人和高三（2）班的人數(shù)分別是m和n，某次測試數(shù)學平均分分別是a，b，則這兩個班的數(shù)學平均分為
a+b
2
；
②對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），由樣本數(shù)據(jù)得到回歸方程
?
y
=
?
b
x+
?
a
必過樣本點的中心(
.
x
，
.
y
)；
③調查某單位職工健康狀況，其青年人數(shù)為300，中年人數(shù)為150，老年人數(shù)為100，現(xiàn)考慮采用分層抽樣，抽取容量為22的樣本，則青年中應抽取的個體數(shù)為12；
④對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k，k越小，“X與Y有關系”的把握程度越大．
其中正確的個數(shù)有（　�。�
A、0個B、1個C、2個D、3個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=2x的反函數(shù)y=f-1（x）的圖象是（　�。�
A、
B、
C、
D、

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=sin（
x
2
-
π
3
）．
（1）求函數(shù)f（x）的周期和單調增區(qū)間；
（2）求不等式
1
2
≤f（x）≤
3
2
的解集．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

高三年級某班的所有考生全部參加了“語文”和“數(shù)學”兩個科目的學業(yè)水平考試．其中“語文”和“數(shù)學”的兩科考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖（按[0，10），[10，20），…，[80，90），[90，100）分組）所示，其中“數(shù)學”科目的成績在[70，80），分數(shù)段的考生有16人．
（1）求該班考生“語文”科目成績在[90，100），分數(shù)段的人數(shù)；
（2）根據(jù)數(shù)據(jù)合理估計該班考生“數(shù)學”科目成績的平均分，并說明理由；
（3）若要從“數(shù)學”科目分數(shù)在[50，60）和[90，100）之間的試卷中任取兩份分析學生的答題情況，在抽取的試卷中，求至少有一份分數(shù)在[50，60）之間的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知（3x-1）n的展開式的奇數(shù)項二項式系數(shù)和是16，求（x
2
3
-3x2）n的展開式中：
（1）二項式系數(shù)最大的項；
（2）系數(shù)的絕對值最大的項．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知tanα=2，計算：
（Ⅰ）
2sinα-cosα
sinα+2cosα

（Ⅱ）sin2α+sinαcosα-2cos2α

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2+a7+a12=-6，S20=-110．
（1）求數(shù)列{an}的通項an；
（2）若等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，b1=4，公比q=-
1
2
，且對任意的m，n∈N*，都有Sn＜Tm+t，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）滿足以下條件：
①在x=1時有極值；
②曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與直線x-3y+2=0垂直．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）設直線l1：y=kx與函數(shù)f（x）的圖象有三個不同的交點A，B，C，且|AB|=|BC|=5，求直線l的斜率k的值；
（Ⅲ）設g（x）=6lnx-m，若存在x∈[
1
e
，e]，使g（x）＜f（x），求實數(shù)m的取值范圍．

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