Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂+a₇+a₁₂=-6，S₂₀=-110．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）若等比數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，b₁=4，公比q=-

1

2

，且對任意的m，n∈N^*，都有S_n＜T_m+t，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）由已知列出方程組

3 a1+18d=-6 20a1+ 20×19 2 d=-110

，求出

a1=4 d=-1

代入等差數(shù)列的通項公式即可；
（2）求出等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n及等比數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，將對任意的m，n∈N^*，都有S_n＜T_m+t，轉(zhuǎn)化為求S_n-T_m，求的最大值．

解答： 解：（1）∵a₂+a₇+a₁₂=-6，S₂₀=-110．
∴

3 a1+18d=-6 20a1+ 20×19 2 d=-110

，
解得

a1=4 d=-1

∴a_n=a₁+（n-1）d=-n+5．
（2）由（1）知Sn= a1n+

n(n-1)

2

d=-

n2

2

+

9

2

n，
∵等比數(shù)列{b_n}中b₁=4，公比q=-

1

2

，
∴Tm=

4[1-(- 1 2 )m]

1+ 1 2

=

8

3

[1-(-

1

2

)m]，
∵任意的m，n∈N^*，都有S_n＜T_m+t，
 (-

n2

2

+

9

2

n)-

8

3

[1-(-

1

2

)m]＜t對任意的m，n∈N^*，都成立  
當n=4或5時，S_n最大為10；
當m=2時T_m最小為2；
∴當n=4或5且m=2時(-

n2

2

+

9

2

n)-

8

3

[1-(-

1

2

)m]最大為10-2=8，
∴t＞8．

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式；不等式恒成立問題，是一道綜合題．