【題目】如圖，在空間幾何體中，平面平面，與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，點(diǎn)在平面上的射影在的平分線上，已知和平面所成角為.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).

【解析】分析：（1）取中點(diǎn)，連接，先證明，再證明平面. （2）由已知，兩兩互相垂直，故以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值.

詳解：（1）證明：由題意知，與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，.

又∵平面平面，平面，作平面，

那么，根據(jù)題意，點(diǎn)落在上，

∵和平面所成角為，∴.

∵，∴，

∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面，平面，

∴平面.

（2）由已知，兩兩互相垂直，故以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得，，.

∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為.

∵，∴.令，∴取，

又∵平面的一個(gè)法向量，∴.

又由圖知，所求二面角的平面角為銳角，∴ 二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷(xiāo)售量（單位：千克）與銷(xiāo)售價(jià)格（單位：元/千克）滿足，其中，為常數(shù).已知銷(xiāo)售價(jià)格為7元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克.

（1）求的值；

（2）若該商品成本為5元/千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格值，使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲利潤(rùn)最大.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2018年2月9-25日，第23屆冬奧會(huì)在韓國(guó)平昌舉行.4年后，第24屆冬奧會(huì)將在中國(guó)北京和張家口舉行.為了宣傳冬奧會(huì)，某大學(xué)在平昌冬奧會(huì)開(kāi)幕后的第二天，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了120名學(xué)生，對(duì)是否收看平昌冬奧會(huì)開(kāi)幕式情況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

(Ⅰ)根據(jù)上表說(shuō)明，能否有的把握認(rèn)為，收看開(kāi)幕式與性別有關(guān)？

(Ⅱ)現(xiàn)從參與問(wèn)卷調(diào)查且收看了開(kāi)幕式的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取12人參加2022年北京冬奧會(huì)志愿者宣傳活動(dòng).

(ⅰ)問(wèn)男、女學(xué)生各選取了多少人？

(ⅱ)若從這12人中隨機(jī)選取3人到校廣播站開(kāi)展冬奧會(huì)及冰雪項(xiàng)目的宣傳介紹，設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為，寫(xiě)出的分布列，并求.

收看

沒(méi)收看

男生

60

20

女生

20

20

附：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且橢圓與圓： 的公共弦長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程.

（2）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)作直線（不與坐標(biāo)軸重合）交橢圓于， 兩點(diǎn)， 軸于點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，求證： ， ， 三點(diǎn)共線..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過(guò)的動(dòng)直線交拋物線于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，．

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)直線的斜率為1且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，拋物線上存在點(diǎn)使得直線，，的斜率成等差數(shù)列，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類(lèi)的四項(xiàng)參賽作品，只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下：

甲說(shuō)：“或作品獲得一等獎(jiǎng)”；

乙說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；

丙說(shuō)：“， 兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”；

丁說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”.

若這四位同學(xué)只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，，分別是其左、右焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若在直線上任取一點(diǎn)，從點(diǎn)向的外接圓引一條切線，切點(diǎn)為.問(wèn)是否存在點(diǎn)，恒有？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知如圖1所示，在邊長(zhǎng)為12的正方形,中，,且,分別交于點(diǎn),將該正方形沿,折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖2 所示的三棱柱,在該三棱柱底邊上有一點(diǎn),滿足; 請(qǐng)?jiān)趫D2 中解決下列問(wèn)題:

(I)求證:當(dāng)時(shí)，//平面；

(Ⅱ)若直線與平面所成角的正弦值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的兩條直線、分別交拋物線于點(diǎn)、和、，線段和的中點(diǎn)分別為、.如果直線與的斜率之積等于1，求證：直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

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