Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1）其中a＞0，記f（x）||的最大值為A．
（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{5}$時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求A．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)公式將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)，換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，配方，討論單調(diào)性．
（Ⅱ）討論a的取值，利用分類討論的數(shù)學(xué)，結(jié)合換元法，以及一元二次函數(shù)的最值的性質(zhì)進(jìn)行求解；

解答 解：（1）∵0＜a＜$\frac{1}{5}$，
∴函數(shù)f（x）等價(jià)為f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1）=2acos²x+（a-1）cosx-1，
令t=cosx，（-1≤t≤1），則g（t）=2at²+（a-1）t-1，
開(kāi)口向上，對(duì)稱軸t=$\frac{1-a}{4a}$，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{5}$時(shí)，對(duì)稱軸t∈（-1，$-\frac{1}{4}$）始終在定義域范圍內(nèi)．
∴函數(shù)g（t）在t∈[-1，$\frac{1-a}{4a}$]單調(diào)遞減，在t∈[$\frac{1-a}{4a}$，1]單調(diào)遞增．
（Ⅱ）當(dāng)a≥1時(shí)，|f（x）|=|acos2x+（a-1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a-1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a-1）（|cosx|+1）|≤a+2（a-1）=3a-2=f（0），因此A=3a-2．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）等價(jià)為f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1）=2acos²x+（a-1）cosx-1，
令g（t）=2at²+（a-1）t-1，
則A是|g（t）|在[-1，1]上的最大值，g（-1）=a，g（1）=3a-2，
且當(dāng)t=$\frac{1-a}{4a}$時(shí)，g（t）取得極小值，極小值為g（$\frac{1-a}{4a}$）=$-\frac{{a}^{2}+6a+1}{8a}$，二次函數(shù)在對(duì)稱軸處取得極值）
令$-1＜\frac{1-a}{4a}＜1$，解得：a$＜-\frac{1}{3}$（舍去）或$a＞\frac{1}{5}$．因此A=3a-2．
①當(dāng)0＜a$≤\frac{1}{5}$時(shí)，g（t）在（-1，1）內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，|g（-1）|=a，|g（1）|=2-3a，|g（-1）|＜|g（1）|，
∴A=2-3a，
②$\frac{1}{5}$＜a＜1時(shí)，由g（-1）-g（1）=2（1-a）＞0，得g（-1）＞g（1）＞g（$\frac{1-a}{4a}$）．
∵g（$\frac{1-a}{4a}$）-g（-1）＞0，
∴A=|g（$\frac{1-a}{4a}$）|=|$-\frac{{a}^{2}+6a+1}{8a}$|=$\frac{{a}^{2}+6a+1}{8a}$．
綜上可得：A=$\left\{\begin{array}{l}{2-3a，（0＜a≤\frac{1}{5}）}\\{\frac{{a}^{2}+6a+1}{8a}．（\frac{1}{5}＜a＜1）}\\{3a-2，（a≥1）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的最值的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用了換元法，轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．