Question

已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均不為0，且滿足關(guān)系式a_n=

3an-1

an-1+3

（n≥2）．
（1）求證數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）當(dāng)a₁=

1

2

時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用取倒數(shù)法結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a_n=

3an-1

an-1+3

（n≥2）．
∴取倒數(shù)得

1

an

=

an-1+3

3an-1

=

1

an-1

+

1

3

，
即

1

an

-

1

an-1

=

1

3

，n≥2
則數(shù)列{

1

an

}是公差d=

1

3

的等差數(shù)列．
（2）若a₁=

1

2

時(shí)，
∵{

1

an

}是公差d=

1

3

的等差數(shù)列．
∴

1

an

=

1

2

+

1

3

（n-1）=

2n+1

6

，
即．a(chǎn)_n=

6

2n+1

．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的判斷以及等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．