Question

已知A，B是圓O：x²+y²=1上的兩個動點，P是AB線段上的動點，當(dāng)△AOB的面積最大時，則

AP

2-

AO

•

AP

的最小值是（　　）

• A、-

  1

  8

• B、0
• C、-

  2

  4

• D、-

  1

  2

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：由題意知當(dāng)∠AOB=

π

2

時，S取最大值

1

2

，此時

OA

⊥

OB

，建立坐標(biāo)系可得A、B、P的坐標(biāo)，可得

AP

2-

AO

•

AP

為關(guān)于x的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的最值可得．

解答： 解：由題意知：△AOB的面積S=

1

2

|

OA

||

OB

|sin∠AOB
=

1

2

×1×1×sin∠AOB=

1

2

sin∠AOB，
當(dāng)∠AOB=

π

2

時，S取最大值

1

2

，此時

OA

⊥

OB

，
如圖所示，不妨取A（1，0），B（0，1），設(shè)P（x，1-x），
∴

AP

2-

AO

•

AP

=

AP

•（

AP

-

AO

）=

AP

•

OP

=（x-1，1-x）•（x，1-x）
=x（x-1）+（1-x）（1-x）
=2x²-3x+1，x∈[0，1]
當(dāng)x=-

-3

2×2

=

3

4

時，上式取最小值-

1

8

．
故選A．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，涉及三角形的面積公式和二次函數(shù)的最值，屬中檔題．