【題目】已知函數f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式f(x)<4-|x-1|;
(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤(a>0)恒成立,求實數a的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)利用零點分段法分類討論解絕對值不等式即可.
(2)利用基本不等式求出的最小值,令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|,只需g(x)max即可求解.
(1)不等式f(x)<4-|x-1|,即|3x+2|+|x-1|<4.
當x<-時,即-3x-2-x+1<4,
解得-<x<-;
當-≤x≤1時,即3x+2-x+1<4,
解得-≤x<;
當x>1時,即3x+2+x-1<4,無解.
綜上所述,不等式的解集為.
(2) = (m+n)=1+1+,
當且僅當時取等號,
令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|=,
所以當x=-時,g(x)max=+a,要使不等式恒成立,
只需g(x)max=+a≤4,即0<a≤
.故實數a的取值范圍為.
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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,E,F分別為AC,BC的中點.
(1)求證:EF∥平面PAB;
(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求證:平面PEF⊥平面PBC.
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【題目】如圖,A 為橢圓的下頂點,過 A 的直線 l 交拋物線于B、C 兩點,C 是 AB 的中點.
(I)求證:點C的縱坐標是定值;
(II)過點C作與直線 l 傾斜角互補的直線l交橢圓于M、N兩點,求p的值,使得△BMN的面積最大.
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【題目】已知橢圓的離心率為,且橢圓上的點到焦點的最長距離為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點P(0,2)的直線l(不過原點O)與橢圓C交于兩點A、B,M為線段AB的中點.
(。┳C明:直線OM與l的斜率乘積為定值;
(ⅱ)求△OAB面積的最大值及此時l的斜率.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系(),點為曲線上的動點,點在線段的延長線上,且滿足,點的軌跡為。
(Ⅰ)求的極坐標方程;
(Ⅱ)設點的極坐標為,求面積的最小值。
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