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10.已知函數f(x)=(x2-ax+a+1)ex
(Ⅰ)討論函數f(x)的單調性;
(Ⅱ)函數f(x)有兩個極值點,x1,x2(x1<x2),其中a>0.若mx1-fx2ex1>0恒成立,求實數m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出函數的導數,通過討論a的范圍,求出函數的單調區(qū)間即可;
(Ⅱ)問題等價于m>fx2x1ex2=x22ax2+a+1x1恒成立,即m>-x22+2x2+1恒成立,令t=a-2(t>2),則x2=a2+a24a2,令g(t)=t+t242,根據函數的單調性求出g(t)的最小值,從而求出m的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=[x2+(2-a)x+1]ex,
令x2+(2-a)x+1=0(*),
(1)△=(2-a)2-4>0,即a<0或a>4時,
方程(*)有2根,
x1=a2a24a2,x2=a2+a24a2,
函數f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)遞增,在(x1,x2)遞減;
(2)△≤0時,即0≤a≤4時,f′(x)≥0在R上恒成立,
函數f(x)在R遞增,
綜上,a<0或a>4時,函數f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)遞增,在(x1,x2)遞減;
0≤a≤4時,函數f(x)在R遞增;
(Ⅱ)∵f′(x)=0有2根x1,x2且a>0,
∴a>4且{x1+x2=a2x1x2=1
∴x1>0,mx1-fx2ex2>0恒成立等價于m>fx2x1ex2=x22ax2+a+1x1恒成立,
即m>-x22+2x2+1恒成立,
令t=a-2(t>2),則x2=a2+a24a2,
令g(t)=t+t242,
t>2時,函數g(t)=t+t242遞增,g(t)>g(2)=1,
∴x2>1,∴-x22+2x2+1<2,
故m的范圍是[2,+∞).

點評 本題考查函數的單調性問題,考查導數的應用,解決與不等式有關的參數范圍和證明問題,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,分類思想,考查運算能力,是一道綜合題.

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