Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，PD∥MA，MA⊥AD，PM⊥平面CDM，MA=AD=

1

2

PD=1．
（Ⅰ）求證：平面ABCD⊥平面AMPD；
（Ⅱ）求三棱錐A-CMP的高．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱錐的結構特征

專題：等體積法,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由PM⊥平面CDM得PM⊥CD，ABCD是正方形得CD⊥AD，從而證得CD⊥平面AMPD，即平面ABCD⊥平面AMPD；
（Ⅱ）設三棱錐A-CMP的高為h，由等積法V_A-CMP=V_C-AMP，求出△CMP與△AMP的面積，即可求出高h．

解答： 解：（Ⅰ）∵PM⊥平面CDM，且CD?平面CDM，∴PM⊥CD，
又∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
在梯形AMPD中，PM與AD相交，
∴CD⊥平面AMPD，
又∵CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面AMPD；…（4分）
（Ⅱ）設三棱錐A-CMP的高為h，
由（Ⅰ）知CD⊥平面AMPD，且PM⊥平面CDM，
∴PM⊥CM，PM⊥DM，
∵MA=AD=

1

2

PD=1，
∴DM=

2

，CM=

3

，PM=

2

，…（6分）
∴S△AMP=

1

2

AM•AD=

1

2

，
S△CMP=

1

2

CM•PM=

1

2

•

3

•

2

=

6

2

；…（8分）
∵V_A-CMP=V_C-AMP，
∴

1

3

S△CMP•h=

1

3

S△AMP•CD；…（10分）
即

1

3

×

6

2

•h=

1

3

×

1

2

×1，
解得h=

6

6

；…（12分）
∴三棱錐A-CMP的高為

6

6

．（其他做法參照給分）

點評：本題考查了空間中的平行與垂直關系的判斷問題，也考查了求幾何體的體積的問題，是中檔題．