Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E，F(xiàn)分別為棱DD₁和AB上的點，則下列說法正確的是

 

．（填上所有正確命題的序號）
①A₁C⊥平面B₁EF
②在平面A₁B₁C₁D₁內總存在與平面B₁EF平行的直線；
③△B₁EF在側面BCC₁B₁上的正投影是面積為定值的三角形；
④當E，F(xiàn)為中點時，平面B₁EF截該正方體所得的截面圖形是六邊形；
⑤當DE=

2

3

，AF=

1

2

時，平面B₁EF與棱AD交于點P，則AP=

3

4

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間位置關系與距離,簡易邏輯

分析：由正方體的結構特征，對所給的幾個命題用線面，面面之間的位置關系直接判斷正誤即可得到答案．

解答： 解：對于①，A₁C⊥平面B₁EF不一定成立，
∵A₁C⊥平面AC₁D，而兩個平面面B₁EF與面AC₁D不一定平行．

對于②，在平面A₁B₁C₁D₁內總存在與平面B₁EF平行的直線，此兩平面相交，一個面內平行于兩個平面的交線一定平行于另一個平面，此結論正確；
對于③，△B₁EF在側面BCC₁B₁上 的正投影是面積為定值的三角形，此是一個正確的結論．
∵其投影三角形的一邊是棱BB₁，而E點在面上的投影到此棱BB₁的距離是定值，故正確；
對于④，當E，F(xiàn)為中點時平面B₁EF截該正方體所得的截面圖形是五邊形B₁QEPF，故原結論不正確；

對于⑤，由面面平行的性質定理可得EQ∥B₁F，故D₁Q=

1

6

，B₁Q∥PF，故AP=

3

5

，故⑤不正確．
故正確的命題有：②③．
故答案為：②③．

點評：本題考點是棱柱的結構特征，考查對正方體的幾何特征的了解，以及線面垂直，線面平行等位置關系的判定，涉及到的知識點較多，綜合性強．