Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F位于直線x+y-1=0上．
（1）求拋物線方程；
（2）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)C到拋物線準(zhǔn)線的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先求出焦點(diǎn)進(jìn)而求出P，從而求出拋物線的方程；
（2）先根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和直線的傾斜角可表示出直線AB的方程，然后聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得到兩根之和與兩根之積，進(jìn)而可得到中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，求出AB的中點(diǎn)C到拋物線準(zhǔn)線的距離．

解答： 解：（1）∵拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F位于直線x+y-1=0上．
所以焦點(diǎn)是（1，0），
故

p

2

=1，
∴p=2，
所以拋物線的方程為：y²=4x；
（2）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，
直線AB的方程為y=x-1，
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
將y=x-1代入y²=4x得x²-6x+1=0．
則x₁+x₂=6，x₁•x₂=1．
故中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3．
所以中點(diǎn)C到準(zhǔn)線的距離為3+1=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的綜合問(wèn)題和兩點(diǎn)間的距離公式．直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題一直都是高考的重點(diǎn)，要著重復(fù)習(xí)．