Question

【題目】已知如圖，橢圓：與直線交橢圓于，兩點．

（Ⅰ）若直線經(jīng)過橢圓的左焦點，交軸于點，且滿足，.求證：為定值；

（Ⅱ）若，求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)出直線方程，設(shè)出AB的坐標(biāo)，直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合，．即可證明：λ+μ為定值；（Ⅱ）當(dāng)直線OA，OB分別與坐標(biāo)軸重合時，易知．當(dāng)直線OA，OB斜率存在且不為0時，設(shè)，設(shè)，，直線y＝kx代入橢圓C得到x2+2k2x2﹣2＝0，求出A，B坐標(biāo)，表示出三角形的面積，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解三角形的面積的范圍．

（Ⅰ）證明：由題設(shè)知直線斜率存在，設(shè)直線方程為，則.

設(shè)，，直線代入橢圓得，

所以，，

由，知，，.

（Ⅱ）當(dāng)直線，分別與坐標(biāo)軸重合時，易知.

當(dāng)直線，斜率存在且不為0時，設(shè)：，：，

設(shè)，，直線代入橢圓得到，

所以，，

同理，，

，

令，

則 ，

因為，所以，

故，綜上.