設(shè)f(x)=為奇函數(shù),a為常數(shù),
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)證明:f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;
(Ⅲ)若對于[3,4]上的每一個(gè)x的值,不等式f(x)>+m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:(1)利用奇函數(shù)的定義找關(guān)系求解出字母的值,注意對多解的取舍.
(2)利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,關(guān)鍵要在自變量大小的前提下推導(dǎo)出函數(shù)值的大。
(3)將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,用到了分離變量的思想.
解答:解:(1)∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x).

檢驗(yàn)a=1(舍),∴a=-1.
(2)由(1)知
證明:任取1<x2<x1,∴x1-1>x2-1>0

即f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
(3)對[3,4]于上的每一個(gè)x的值,不等式恒成立,即恒成立.
.只需g(x)min>m,
又易知在[3,4]上是增函數(shù),

時(shí)原式恒成立.
點(diǎn)評:本題是以對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)基本性質(zhì)的小綜合題,用到了函數(shù)奇偶性,函數(shù)單調(diào)性的定義.恒成立問題中求字母的取值范圍問題往往通過分離變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.
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